基于探究的解析几何考查研究

【摘 要】：解析几何在中学数学中属于比较重要的内容，其核心内容是直线、圆和圆锥曲线，解析几何问题重点考查解析几何的基本思想：利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质；在解题的过程中，计算占了很大的比重，对运算能力有较高的要求，探究解析几何的考查，应在着重于“三基”，淡化对图形性质的技巧性处理的同时，注重计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，合理利用曲线的定义和性质将计算简化，讲求计算的合理化。同时应认真研究新课程标准，创建新课程标准的评价下的新形式命题

【关键词】解析几何考查  注重三基   淡化图形性质  新形式命题

解析几何是高中数学的重要内容，是几大数学思想在高中部分的演练平台，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线，由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁使二者产生联系。这样，向量的有关运算与解析几何的坐标运算也就可以紧密联系，用向量的方法研究解析几何问题，主要是利用向量的共线、垂直关系及成角研究解析几何中的直线的平行、垂直关系及成角。平面向量的引入为高考中的解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络的交汇点设计试题提供了良好的素材。

一、考查的意义

解析几何问题的考查，着重于解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质，因此，在解题的过程中计算必定占很大的比重，对运算求解能力的要求，相对于高中数学的其他知识有了较大的提高，所以，要求在考查命题的命制时，必须考虑解答过程的计算，计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，合理利用曲线的定义和性质将计算简化，讲求所设计的命题解答过程运算的合理化，渗透一些常用的“设而不求、整体代换”等技巧。

解析几何在高中学习的重要功能是培养学生的数形结合思想，解析几何的考查命题应淡化对图形性质的技巧性处理，命制命题时应关注解题方向的选择及计算方法的合理性，同时应适当地关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注基本数学思想在解题过程的渗透，如：数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。特别地应关注学生在高中三年学习是否掌握对问题处理的策略和一般的处理方法，如：待定系数法、换元法等。

解析几何的考查还应该关注大学教材的改革，高等代数与空间解析几何长期以来一直都是高师院校数学系的两门基础课，1997年以前，大多数高师院校基本上都是分别讲授，随着高等教育课程与教学内容改革的不断深入，代数与解析几何课程设置的一些新思路不断地提了出来，将线性代数与空间解析几何合设一门“代数与几何”这种改革已成为为一种创新的尝试。专家们已经清楚地认识到“代数与几何”这门课程不是一种简单的剪截拼接，代数与几何合并在一起讲授有其深刻的内在根源，并且更符合学科的本来面目。几何问题的代数化处理，代数问题的可视化处理，把代数与几何更加紧密地结合在一起。传统的代数几何分讲已不符合时代发展的要求，必须进行改革，而把高等代数与空间解析几何合并设课是一个较好的选择方案，这样设课不仅体现线性代数作为解析几何的主要工具的作用，而且更具体地给线性代数提供各种几何背景和几何解释。 代数与几何课程与教学内容的改革不能机械地模仿综合性大学或工科大学的模式，而应有自己师范性的特色。一方面，必须以高师院校数学专业毕业生应具备的代数与解析几何知识、能力和综合素质等基本要求为依据，选择和组织本课程的教学内容；另一方面，还应体现高等师范教育的特点。我们从这些专家的“认识”中认识到：大学数学系的教学培养的是我们这些教高中数学的人，我们这些人必须熟练掌握：几何问题的代数化处理，代数问题的可视化处理的本领，才能教会学生们具有这样的本领。

综上所述可归纳为：解析几何的考查应以掌握基础知识为背景，结合考查掌握基本数学思想的同时考查学生的几何问题的代数化处理，代数问题的可视化处理的本领。

二、考察难度的定位

一般说，解析几何的考查的命题的难度可以按知识结构、运用技能和计算量来区分，从难度上区分都可以有低、中、高三档同时出现在一份试卷上。从中检测学生对这重要的高中数学知识和学生学习数学本领的掌握情况。所以，命题的命制就必须明确所命制的题目是否符合预定目标。

1、低档题：从解析几何的概念入手，没有设置计算难度。

(a).    (b). 2   (C).    (D). 3      

命制立意：本命题出示没有图，只要考生画出右图，过点B作 于M,并设右准线 与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意 ,故 .又由椭圆的第二定义,得 .从中命制的立意从概念出发  ，能读其义思其形问题即能解决。

例2、（2009天津卷文）设双曲线 的虚轴长为2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A    B    C       D

命制立意：试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考查了简单的运算能力和推理能力。该命题应该算是纯概念题。

例3、(2009山东卷文)设斜率为2的直线 过抛物线 的焦点F,且和 轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为(    ).      

A.     B.     C.      D.

命制立意：本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数 的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况。这种已接近中档题了。

例4、（2009四川卷理）若⊙ 与⊙ 相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是          

命制立意：本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。本人认为解决该题的切入点在理解“过切点垂直于切线的直线过圆心”这个平面几何定理，偏离了“解析几何试题应淡化对图形性质的技巧性处理”的考试要求。

2、中档题：从综合解析几何概念入手，结合使用基本数学思想，有一定的计算量。

例5、（2009宁夏海南卷文）已知圆 ： + =1，圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为（    ）

（A） + =1            （B） + =1

（C） + =1            （D） + =1

命制立意：考查两圆关于直线对称下的位置关系，计算 关于直线 的对称点。在解答过程需要设立一个二元方程组求解。

例6、（2009四川卷理）已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值是（    ）

A.2             B.3             C.            D.         

命制立意：本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。这其中在知道 是准线的同时，必须把 到 的距离转到 到焦点的距离才能切入求 到直线 和直线 的距离之和的最小值的关键处，从而问题得到解决（如右图）。

例7、(2009年广东卷文)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在 轴上,离心率为 ,两个焦点分别为 和 ,椭圆G上一点到 和 的距离之和为12.圆 : 的圆心为点 . (1)求椭圆G的方程   (2)求 的面积  (3)问是否存在圆 包围椭圆G?请说明理由.

命制立意：⑴问考查椭圆的定义及简单的几何性质，⑵问考查考生掌握“动中求定”的认识本领，⑶问考查考生在可视性的图形中如何使用代数方法的处理手段。问题解决过程有一定的计算量，应用知识不偏，运用的数学思想和技能技巧都在要求之内，还能避开学生的常规训练类型，是一道好题。

例8、（2009北京理）（本小题共14分）

已知双曲线 的离心率为 ，右准线方程为

（Ⅰ）求双曲线 的方程；

（Ⅱ）设直线 是圆 上动点 处的切线， 与双曲线 交

于不同的两点 ，证明 的大小为定值.

命制立意：主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．本题在⑵问中与例7的考查思想相同，考查考生掌握“动中求定”的认识本领，但在求解过程需综合使用向量知识解决，所以难度上应该高了一点。

3、高档题：问题解决要综合运用解析几何知识，充分使用数学基本思想，有较大的计算量或较灵活联想思维和处理手段。

例9、（2009重庆卷理）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若双曲线上存在一点 使 ，则该双曲线的离心率的取值范围是           ．

命制立意：要求考生从命题条件中体会该问题的解决必须结合解三角形知识把 转化为边的比，最后还得想办法构造关于 的齐次不等式求解。上述的两道思维关卡让学生常常难于应对。

例10、（2009全国卷Ⅰ理）如图，已知抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四个点。 （I）求 得取值范围；

（II）当四边形 的面积最大时，求对角线 、 的交点 坐标

命制立意：（I）问考查了几何问题的代数处理在使用过程的准确度。（II）问在考查了理解考纲程度，考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点．最后还必须：是使用利用三次均值求解还是利用求导处理做出选择，三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。利用求导处理，这是命题人的意图。我认为命题更应该想到的是考生会使用导数处理。

例11、（2009重庆卷理）已知以 为周期的函数 ，其中 。若方程 恰有5个实数解，则 的取值范围为（    ）     

A．               B．            C．            D．

命题立意：充分性地考查数形结合思想，要求考生熟练掌握“数中有形”，必须认准其形，“形中有数”，要善于用数的方法来解决“形”不能解决的问题。在 时，将函数化为方程 ，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当 得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线 与第二个椭圆 相交，而与第三个半椭圆 无公共点时，方程恰有5个实数解，最后还要由方程中的 构建关于 的不等式求解。该问题一开始定位就较高，所以，难度较大。

例12、(2009山东卷理)设椭圆E: （a,b>0）过M（2， ） ，N( ,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

命制立意：本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系。本题的（I）问是基础概念问题。（II）问的问题处理思路是属于常规训练型的，但由于解决过程的计算量很大，属于“欲解难出，放弃不甘”的“鸡肋”型考题，考生一旦出错，还会滚雪球一样一直做下去，当解到无法继续或得到一堆山一样的答案时，时间花去太多，想返不能，欲哭无泪所以难度系数无形加大。

三、考查设计的思路拓展

在上一点考查难度的定位的研究中，可以看到难与不难是相对的，有些命题看似思路常规，但由于求解过程的计算需要较多的技巧，解答反而难；有些命题看似难度较大，但只要选准切入点后，计算较简，此类问题反而难度降低。那么，应该如何对解析几何考查命题进行定位呢？从多年的高考经验和解析几何在高中数学中的地位来分析，应该作好以下几点：

（一）、筛选以往高考命题的特征，结合新课程标准进行“去劣保优”

考查设计的思路不应该局限于对难度的分析和确定上，应该以课程标准为依据，以检查考生能否达到课标提出“三位一体”的目标为准则，结合检查学生的能力发展进行设计。近几年来，各省市命题组多采用知识块综合或能力综合的形式进行，如：

⑴解析几何与平面几何的综合

例13、（2009全国卷Ⅰ文）若直线 被两平行线 所截得的线段的长为 ，则 的倾斜角可以是   ①    ②    ③    ④     ⑤    

其中正确答案的序号是           .（写出所有正确答案的序号）

命制立意：考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。

例14、（2009江西卷文）如图，已知圆 是

（1）求圆 的半径 ;

（2）过点 作圆 的两条切线交椭圆于 两点，

命制立意：考查椭圆的几何性质，结合运用平面几何的三角形相似考查数形结合思想。

⑵解析几何与三角函数、数列的综合

例15、点 在椭圆 上， 直线 与直线 垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 .

（I）证明: 点 是椭圆 与直线 的唯一交点；          

（II）证明: 构成等比数列

命制立意：考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。

   ⑶运用解析几何知识考查数学综合能力

例16、过抛物线 的对称轴上一点 的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线 作垂线，垂足分别为 、 。             

（Ⅰ）当 时，求证： ⊥ ；

（Ⅱ）记 、  、 的面积分别为 、 、 ，是否存在 ，使得对任意的 ，都有 成立。若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。

命制立意：考查抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力

以上这些例子可以说明一个问题，在命制命题时，无论是知识块的综合还是能力发挥的综合考查，总是在传统考查的影子下做文章，这种考查与新课标的要求比较，总觉得缺点什么。

教育部制定的《数学课程标准》实施建议提到：教学建议：1、以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划。2、帮助学生打好基础，发展能力。3、注重联系，提高对数学的整体的认识。4、注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力。5、关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成。6、改善教与学的方式，使学生主动地学习。7、恰当运用现代信息技术，提高教学质量。评价建议：1、重视对学生数学学习过程的评价。2、正确评价学生的数学基础知识和基本技能。3、重视对学生能力的评价。4、实施促进学生发展的多元化评价。5、根据学生的不同选择进行评价。

（二）创建新课程标准的评价下的新形式命题

重温《数学课程标准》可以看到传统的考查方式有很多方面是值得保留和发扬的，但考查的内容选择和考查的部分方式应该有所创新，比如，有人就数学建模思想去创建模拟实际情景考查命题，有人就物理问题数学化创建考查命题等等，已经开始这方面的探究；以下，本人就这方面提出自己的一些看法，

1、模拟实习作业形式创建考查命题

    例17、下表是一个学生完成的实习作业，请完成表中所提出的问题

实习作业形式考查命题可按预设问题形式和探索性形式，视命题内涵要求和难度要求而确定。

2、模拟几何画板操作创建动手型考查命题

例18、平面上有一定直线 和定点 ， 到 的距离为 ，过 的直线 与 的交角为 ，动点 在 上，过 作 的垂线交线段 的垂直平分线于 。

（1）问点 的轨迹是什么？    （2） 的轨迹截直线 的线段长为多少？

模拟几何画板形式的考查命题既注重考生的学习过程的动手能力，又在适当运用信息技术提高学生对数学的认识上作出检验。从中不但起了正确评价学生的数学基础知识和基本技能的作用，还能达到重视对学生数学学习过程的评价和对对学生能力的评价的作用。

（三）结合新课程背景下的课堂教学的问题研究

从上面研究中所举的例子可以看到：全国各省市在2009高考中，有的已避开圆锥曲线中的椭圆和双曲线的准线，有的省市还是出现这个概念，甚至还引用了圆锥曲线的第二定义。一个课程标准的改革对一个概念的去留，本来也没什么很值得研究的地方，但对传统的知识体系已经在深深扎根的教师的教学和命制命题来说，有时很尴尬；抛开教学不说，就从命制命题来看，比如就例1来说，我们如果用知识结构，运用技能和计算难度三方面来衡量它，那难度定位的差距就相当的大，于是，我们就得思考：这样的概念是应该去，还是应该留。如果是“去”？课程标准的意图是什么？是因为高中数学的概念过多应该减少，反正这样的概念去留无所谓？还是想以此来减轻学生学业的负担吗？我觉得都不是。那么，如果留，优点又是什么？有的概念的产生，在知识体系中起着阶梯作用，有的概念的产生，让知识起同类异向的排比进入学习者的最近发展区（如：圆锥曲线的第二定义）的作用，学习者掌握这类知识，在问题解决时锻炼发散思维是很有帮助的。

还有，我们一直强调学生学数学过程的重要性，那么概念知识的安排顺序就值得研究，如模块②中的直线倾斜角的正切值和模块④的三角函数的诱导公式应该是谁先谁后呢？我们强调数学概念准确性和严谨性，当教材对概念的定义阐述不明确时就值得研究，是课程标准有意淡化此类问题还是编写者的疏漏？如二面角的范围是 还是 ，又如曲线的切线该怎样讲才符合新课程标准的要求？这些问题在考查时怎么办？是避开呢？还是加定义？

总之，课堂上产生的遗留问题，是很值得研究的，不论是教材编写还是考查命题命制都得研究，它不仅有现实的指导意义，还有为数学承前启后的学习者的意识情感打下良好的基础。

四、反思与感想

三年来的考查研究，我们对新课程必考内容的考查和新课程标准做了一些比较，也做了一些实验和一些大胆尝试，积累一些经验，更多的是留下疑惑需加倍努力去探索，深感考查意义的重大，其意义不但有上述的倡导积极主动勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，体现数学的文化价值，与时具进加强信息技术与数学课程的整合等等，解析几何内容牵涉的知识面很广，在提倡素质教育的今天，解析几何的考查就应发挥其指导性的作用。

考查的更深层的意义在于考查是指挥教师教学的“指挥棒”。回顾当今学校的现实教学，无论指导思想怎么喊，基本上所有的普通高中教学都是奔着高考的目标而来，所以，在高考形式还没有改变的现实下，一张高考试卷的功能就不是单纯为高校选拔优秀的学生，更大的作用在于指导着高中的教学。

【参考文献】1、普通高中数学课程标准（实验） 人民教育出版社

2、福建省普通高中新课程教学要求（数学）  福建教育出版社