利用GeoGebra画板探究圆锥曲线的一个优美性质

                        莆田第十中学数学组   黄建强

GeoGebra是集几何、代数、微积分于一体的动态数学软件，它既可以是一个动态的几何软件，因为在上面可以画点、向量、线段、直线、多边形、圆锥曲线，还有函数图象，然后还可以改变他们的属性；又可以说是代数软件，因为你可以直接输入方程和点坐标。因此，GeoGebra 视窗左边有一个「代数区」，右边有一个「几何区」（也称为「绘图区」）。而解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来。它主要的目的是用代数方法来研究几何，所以GeoGebra可以成为解析几何的一个重要的辅助工具，本文尝试利用GeoGebra画板探究圆锥曲线的一个优美性质。

（2009年辽宁数学理科高考试题）已知椭圆C过点，两个焦点。

(1)求椭圆的方程。

(2)E,F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

答案：椭圆的方程为。直线EF的斜率为定值。

E,F的改变，而直线EF的斜率始终没有发生改变。这种动中不变的性质是解析几何的主要特征，但光靠教师的口头讲解很难讲清问题的本质。所以利GeoGebra画板可以很好的展示这个过程，如图在E,F的运动中，EF以一组不平行线的形式呈现，也就是EF的斜率始终没有发生改变。

学生感到非常好奇，探究的热情被激发，开始思考一般情形。

性质1:已知椭圆方程过点，E,F是椭圆上的两动点，若，则。

分析：椭圆的形状改变即离心率改变，但EF的斜率仍然等于椭圆的离心率。

如图2中离心率为0.72,斜率也是0.72.而图3k中离心率为0.25,斜率也是0.25.

图2

图3

通过GeoGebra画板的演示，如他们所猜想的结果一致，于是他们进而会深层地探究这种现象背后的本质是什么，于是我们就自然而然通过代数的角度分析。

证明：设直线AE的方程为，代入椭圆方程，整理得，

。

又直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，所以

。

此时可以引导学生思考A的坐标为：，结果又如何。同样我们可以很容易在GeoGebra画板进行操作。

进一步把此结论推广到双曲线。

性质2:已知双曲线过点，E,F是双曲线上的两个动点，若，则。

性质3:已知抛物线，点，E,F是抛物线上的两个动点，若则。

这样探究得到圆锥曲线所共有的一个优美性质：

性质4:已知点A圆锥曲线C上一个定点，E,F是圆锥曲线C上的两个动点，若点A与曲线一个焦点的连线垂直于对称轴，，则。

综上，GeoGebra软件是信息技术与高中数学课堂整合的重要工具，可以较好地辅助用户实现其教学理念，特别适合用来进行探究解析几何中运动中的不变性! 还能对动态的对象进行追综，在保持关系不变的情况下，研究某些直线或角等的关系，为平面几何、解析几何、物理动力学、运动学、几何光学等科学提供了很好的工具! 利用这一功能可以使我们实现预先猜测一些结论，然后我们有明确的目标去验证结论的正确性，大大提高了探究的效率! 使用GeoGebra技术可以更好地辅助教师的教学，更好地让学生参与到教学过程中来，让学生动手操作发现数学规律，真正实现学生成为课堂的主体!这样的课堂教学的气氛活跃，课堂教学时时散发出浓浓的现代教学气息，在师生不断地享受一个又一个成功的喜悦的同时，培养了学生积极探索思考的数学学习精神，也逐步培养了学生良好的数学思维品质。