2.1新高考函数与导数命题的趋势

函数的观点和方法既贯穿了高中数学的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题（通常是一大带三小），分值28分左右。估计高考关于函数与导数的命题趋势，仍然是难易结合，既有基本题也有综合题，函数与导数的交汇的考查既有基本题也有综合题，基本题以考查基本概念与运算为主，考查函数的基础知识及函数性质和图象为主，同时考查导数的相关知识，知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数综合题.

2.2新高考函数与导数命题的主要内容及特点

（一）高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：

（1）考查利用导数研究函数的图像和性质（单调性、极值与最值、函数零点与方程的根）；

（2）考查原函数与导函数之间的关系；

（3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.

（二）从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：

①全面考查函数基础知识，幂函数、指数函数、对数函数、二次函数、双钩函数、分段函数均有涉及；

②函数的图像和性质的相互联系和相互转化是编制高考数学试题的重要出发点和落脚点，考查的重点是函数的最值和函数的单调性；

③把函数与方程、函数与不等式、函数与导数、函数与数列、函数与解析几何等知识的交汇和综合作为把关题或压轴题，强化以函数为主干知识网络的整体意识，突出函数思想；

④函数模型的实际应用问题在近年的高考试题中有所加强，体现强化应用意识的宗旨。

⑤以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数极值与最值；

⑥与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档偏难题；

⑦利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题.

2.3新高考函数与导数命题的功效

函数与导数是高考的传统考试模块，常将函数、方程、导数、不等式等各知识点综合在一起，所以相对比较综合；如2009年理科20题，实质是函数与方程的问题，包括导数问题；在解答中，又包括了不等式的证明和函数零点等问题；又如2010年理科20题，主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。构造一个新的函数是这累问题的难点，也是一种创新，对于高中生来说，既是一个挑战，又不失为选拔优秀数学人才的好题。2011年主要考查函数与导数的实际应用。除选择题、填空题中的小题考查基础知识外，在创新题、探究题、压轴题中常以函数为背景来命题，侧重考查考生的创新能力、探究能力、转化和化归等数学思想的能力，起到探究与创新功效、选拔人才和区分梯度的功效。

三、对函数与导数备考复习的建议：

3.1．注意对纲领性文件的研究，全面深入了解命题及考试发展、改革趋势。

明确哪些是高频考点、哪些是重点、难点与冷点，明确各考点的具体要求，准确定位各考点的广度与深度，结合学生的实际情况，准确了解各考点学生掌握的情况，做到胸有成竹，运筹纬握，而不能仅凭个人的认识与经验，盲目组织备考，要提高复习的针对性与有效性。

3.2．在复习过程中的几点建议：

函数的内容几乎贯穿整个高中数学的始末，它与高中数学的每一部分内容几乎都有联系。对函数知识的认识包含对一般函数的概念和性质的理解；某一具体函数（基本初等函数或由基本初等函数演变而来的函数）的概念和性质的理解，函数的图像的变换和应用；建立函数模型解决问题的意识；对函数和导数综合问题的理解和掌握等。在复习中要注意以下几点：

（1）重视对函数基本概念和基本性质的理解：包括函数的定义域、值域（最、极值）、对应法则、单调性、奇偶性、周期性、对称性、图像变换等。研究函数的性质要注意分析解析式的特征，同时要注意函数图像（形）的作用（数形结合）。建议进一步加强对基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练。在函数性质和与函数小综合的题型上要多加训练，争取不失分。

（2）重视对基本函数的研究：基本函数（一次函数、二次函数、三次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数、双钩函数）是考查函数知识最常见的载体。建议在复习过程中通过一些选择题、填空题、解答题的训练和巩固，要注意将问题和方法进行归纳和整理，提高分析问题解决问题的能力，争取多得分。

（3）重视数学思想方法的应用：函数、方程、不等式之间的紧密联系（特别是三个二次之间的联系），在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式解决函数的问题，另外函数与其他知识的交汇点是高考命题的热点，其最能体现函数思想的灵魂。建议在复习过程中要不断渗透函数与方程思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、化归和转化的思想。尤其要注意利用函数的单调性证明不等式、判断方程的根、求函数的最（极）值和参数的讨论。利用函数研究方程、不等式、数列、解析几何等综合问题。要力争得到第（1）（2）问的分数，对生源好的学校要加强综合解题能力培养，力争拿高分。

（4）重视函数与导数在实际问题中的应用：函数应用题（应用意识）是高考命题的热点，要注重对学生建模能力和阅读理解能力的训练。建议在复习过程中要加强建立数学建模能力的培养，对如何选择自变量、确定目标函数及定义域、求解数学模型、再回到实际问题等进行有针对性的指导和训练。

3.3．针对函数小题，提出如下建议：

（1）给自己的学生一个准确的定位，确定练习题的难度，对于高考省均分左右的同学来说，要抓好基础问题和常用的思想方法，把基础题做稳做熟，一般来说，不超过2个基本知识点的问题可以算容易题，3个以上的算中等题，解题方向不明确，需要经过探索发现思路，或需要较复杂的分类或转化的问题可以算难题，老师要根据学生的状况确定三个层次问题的比例．

（2）抓好基础题型的练习，再复杂的问题经过分解后都是由基本题型复合而成的．

（3）鼓励学生做好解题后的反思，尤其对于做错的问题一定要分析清楚错误的原因，例如分类的界点，特殊情形，有些基础运算做错是因为运算习惯不好（改变运算习惯而不是以粗心概论）等．并在以后的解题中有意识避免类似错误．

（4）对一些比较定型的问题要归纳出一般的方法，如数形结合解决一些方程、不等式的问题，用分离变量的方法解决恒成立、存在性的问题．

（5）教会一些探索性的方法，如尝试的意识，如一般化与特殊化的方法，如数形结合、化归、等价转化的思想等．注意培养学生独立思考以解决问题的习惯．

（6）教师在教学中要注意多让学生谈思路，不宜过多地以自己的思维代替学生的思维．