对一道高考物理压轴题的多角度建模分析

 李志雄（nice163m@163.com）

(福建省莆田第十中学，福建 莆田 351146)

摘 要：从宏观和微观多个角度透视2014年福建省高考物理压轴题,指出分析和解答其中前二小题的多种建模方法，提示在物理教学中应加强知识点间的横向联系，融会贯通，重视学科素养和物理建模能力的培养。

关键词：磁流体发电；建模思路；微观剖析；宏观效应

  （1）求开关闭合前，、两板间的电势差大小；

（2）求开关闭合前后，管道两端压强差的变化；

（3）调整矩形管道的宽和高，但保持其它量和矩形管道的横截面不变，求电阻可获得的最大功率及相应的宽高比的值。

一、命题评析

本题是2014年福建高考物理压轴题，秉承了几年来福建高考物理试题的特色，凸显对学科素养的考查，而又推陈出新，以磁流体发电新科技的应用为背景，在压轴题中体现STS，本题突出考查了考生面对实际问题和新情景时的物理建模能力。为此，本文将从物理建模的角度指出前二小题的多种解法，点明建模思路，并对第二小题的二种解法从微观层面进行剖析。（第三小题主要是数学问题，本文不讨论）

二、 第一小题的二种建模方法

    第一小题较简单，但也有二种建模方法。

1．微观模型

建模思路：在磁场中运动的带电离子由于受到洛伦兹力的作用将向导体板、两端聚集，在两极板产生电压和电场，分析带电离子所受的电场力与洛伦兹力的关系。

解答：设带电离子所带的电量为，当其所受的洛伦兹力与电场力平衡时，保持恒定：

   = 1 \* GB3 ①

解得：

     ②

2．导体棒切割模型

将发电管内的液体看作长度为的导体棒，以速度切割磁感线，从而在与导体板接触的两端产生感应电动势，可直接得到以上②式。 

三、第二小题的二种建模方法

1．动力学模型

建模思路：选取某时刻在管道内的液体整体当作研究对象，分析研究对象受到的安培力、首尾两端的压力以及之间的关系。

解答：设开关闭合前，管道内的液体受到管道两端的压力差为，液体所受的摩擦阻力均为，由于液体匀速流动，受力平衡，有

    ①

开关闭合后，在轴方向上有电流从导体板通过管道内液体到，管道内液体将受到与流动方向相反的安培力，要使液体流速恒定，受力平衡，管道两端的压力差应增大为，设安培力大小，有：

   ②

     ③

根据欧姆定律，有     ④

两导体板间液体的电阻   ⑤

压力差变化    ⑥

压强差变化    ⑦

由第1小题答案和①~⑦式得：

2．功能关系模型

建模思路：追问电能的来源，分析电功率与压力差做功功率的关系。

解答：开关闭合前，压力差做的功等于克服摩擦阻力做的功，有：

    ①

当开关闭合后，压力差做的功除克服阻力外，还要提供电能外，有：

   ②

根据欧姆定律，有     = 3 \* GB3 ③

两导体板间液体的电阻    = 4 \* GB3 ④

压力差变化    ⑤

压强差变化    ⑥

由第1小题答案和 ①~⑥式得：

四、对第二小题解答的微观剖析

本题的物理情景易将考生导向对微观正负离子运动的关注，而以上的解答都是宏观模型。因此，有人提出疑问，以上的宏观模型其微观机制是怎样的？考生解题的实际心理过程往往存在猜测和尝试的成分，如果平时对宏观效应的微观实质没有了解，就可能会使考生心存疑惑，影响解题速度和信心。为此，下面就本题的具体情形，对以上第二小题的二种解法从微观层面进行剖析。

1．对动力学模型的微观剖析

建模思路：分析正负离子受到的洛仑兹力，推算大量离子所受洛仑兹力的宏观效应。

正负离子的运动方向不同，但产生的电流方向一致，设发电管内与导体板、平行的截面面积为，发电管内正离子密度为负离子密度为,则有：

    （1）

下面先以正离子为例，考察其运动和受力，如图2在平行于底板的截面上，正离子在轴方向的速度仍为，在轴方向上的速度为，合速度设为,合速度与轴方向夹角为，则有：

   (2)

   (3)

洛仑兹力大小：  (4)

设洛仑兹力在轴方向的分力，在轴方向的分力，则有:

  (5)

   (6)

由（2）~（6）得到：

    （7）

    （8）

对于负离子，运动方向与正离子不同，但在轴方向受到的洛仑兹力方向与正离子一致，其大小：

   （9）

（（8）式中为产生电动势的非静电力，将在下文讨论）

设某时刻发电管内所有正离子数目为所有负离子数目为，所有正负离子在轴方向受到的洛仑兹力之和为，有：

   （10）

又有：

    （11）

   （12）

由 （1）、（7）和（9）~（12）有：

    （13）

所有离子在轴方向所受的力，也即是包含所有离子的液体整体在轴方向所受到的力，显然，此力就是上述动力学模型中的安培力。

2．对功能关系模型的微观剖析

建模思路：分析洛仑兹力在、二个坐标轴方向的分力做功及功率关系。

以正离子为例，在轴上，其所受分力做功功率：

在轴上，分力方向与离子运动方向相反做负功，其功率：

注意到，即并不违反洛仑兹力不做功的结论。做负功，也意味着在轴方向有外力克服做功，此外力做功的功率：

即轴上外力做功的功率等于轴上产生电动势的非静电力做功功率，可以推知，对于所有离子累积的宏观效应，前者即为增加的压力做功的功率，后者正是电功率。

五、总结

    以上的分析贯通了微观和宏观的多种模型，提示我们在物理教学中应当引导学生全面理解物理现象所遵循的各种规律，注意物理知识内部的横向联系，融会贯通，在提升物理学科素养的基础上才能有效培养物理建模能力。

发表于《湖南中学物理》2014年第11期