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蓦然回首“那人”却在灯火阑珊处
【字体:[大][中][小] 】【发布时间:2017-11-21】 【作者:/来源: 】 【阅读:次】【关闭窗口】

蓦然回首“那人”却在灯火阑珊处

莆田第十中学    许月珠

在日常的教学过程中,发现有很多的教辅都抄录了2009年普通高等学校招生全国统一考试理22这道题,这是一道以三次函数为背景,集二次函数根的分布、线性规划可行域、导数、不等式于一体的交汇性试题,直至今日依然是一道评价很高的试题。而我在欣赏之余却心存许多疑问,现将试题与解答呈现如下:

在两个极值点高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,且高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

I)求高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的区域;

(II)证明:高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

解:(I高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

依题意知,方程高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。有两个根高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。等价于高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

由此得bc满足的约束条件为

满足这些条件的点高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的区域为图中阴影部分,

 (II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消元的手段,消去目标高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。中的高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。(如果消高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。会较繁琐)再利用高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的范围,并借助(I)中的约束条件得高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。进而求解,有较强的技巧性。

解:由题设知高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,故

于是高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

由于高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,而由(Ⅰ)知,故

又由(Ⅰ)知高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。

所以

疑点之一: “由于高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,而由(Ⅰ)知,故”,其推理依据是什么?

思索之后得到结论:答案中省略了对函数高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。单调性的判定.验证如下:

,,,因为高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,所以,即函数单调递减.,也即,又因为高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,所以,,得证.

疑点二:真的很繁琐吗?结论是“不觉得”.其解法如下:

由题设知高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,,于是.

,,,单调递减.

,,也即.

又因为,所以,

可得,但无法证得这个结论.

疑点三:为什么消得不到答案?

以上推理过程完全类同于参考答案,我想若消得不到正确的答案,那消得到的答案应会有许多的疑点。纵观整个解题过程,的取值范围的求得经过了两次放缩。第一次放缩是不等式组求得的取值范围;第二次放缩是由的取值范围求的取值范围。在解题中二次放缩极易将范围放缩得过大或过小,其一般只在不等式证明过程中应用,极少用于求代数式的取值范围的。那如何避开二次放缩而又能求得的取值范围呢?本认为可用表示,以的取值范围求的取值范围,这一过程只有放缩一次。解法如下:

高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。…① 

-②得,,

将③代入①得,

,,

又因为,所以,单调递减.

,,所以,

也即成立.

近代著名学者王国维先生曾将治学的三重境界“悬思---苦索---顿悟”巧妙地运用了三句诗句比喻, “昨夜西风凋碧树,独上高楼,望尽天涯路”,此第一境也;“衣带渐宽终不悔为伊消得人憔悴”,此第二境也;“众里寻她千百度蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”,此第三境也。在此本人抄录在此,与同为使学生脱离题海而把自已置身于题海的各位同仁共勉。

参考文献:2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷

 

数学组  许月珠《考试周刊》CN22-1381/G4