蓦然回首“那人”却在灯火阑珊处 莆田第十中学 许月珠 在日常的教学过程中,发现有很多的教辅都抄录了2009年普通高等学校招生全国统一考试理22这道题,这是一道以三次函数为背景,集二次函数根的分布、线性规划可行域、导数、不等式于一体的交汇性试题,直至今日依然是一道评价很高的试题。而我在欣赏之余却心存许多疑问,现将试题与解答呈现如下: 在两个极值点,且 (I)求满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点的区域; (II)证明: 解:(I) 依题意知,方程有两个根,等价于
由此得b、c满足的约束条件为
满足这些条件的点的区域为图中阴影部分, (II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消元的手段,消去目标中的,(如果消会较繁琐)再利用的范围,并借助(I)中的约束条件得进而求解,有较强的技巧性。 解:由题设知,故 于是 由于,而由(Ⅰ)知,故
又由(Ⅰ)知 所以 疑点之一: “由于,而由(Ⅰ)知,故”,其推理依据是什么? 思索之后得到结论:答案中省略了对函数单调性的判定.验证如下: 令,,,因为,所以,即函数在单调递减.故,也即,又因为,所以,,故得证. 疑点二:消真的很繁琐吗?结论是“不觉得”.其解法如下: 由题设知,得,于是. 令,,,故在单调递减. 故,即,也即. 又因为,所以, 可得,但无法证得这个结论. 疑点三:为什么消得不到答案? 以上推理过程完全类同于参考答案,我想若消得不到正确的答案,那消得到的答案应会有许多的疑点。纵观整个解题过程,的取值范围的求得经过了两次放缩。第一次放缩是不等式组求得的取值范围;第二次放缩是由的取值范围求的取值范围。在解题中二次放缩极易将范围放缩得过大或过小,其一般只在不等式证明过程中应用,极少用于求代数式的取值范围的。那如何避开二次放缩而又能求得的取值范围呢?本认为可用表示,以的取值范围求的取值范围,这一过程只有放缩一次。解法如下: …① …② ①-②得,,…③ 将③代入①得, 故 令,, 又因为,所以,故在单调递减.有 ,,所以, 也即成立. 近代著名学者王国维先生曾将治学的三重境界“悬思---苦索---顿悟”巧妙地运用了三句诗句比喻, “昨夜西风凋碧树,独上高楼,望尽天涯路”,此第一境也;“衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴”,此第二境也;“众里寻她千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”,此第三境也。在此本人抄录在此,与同为使学生脱离题海而把自已置身于题海的各位同仁共勉。 参考文献:2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷
数学组 许月珠《考试周刊》CN22-1381/G4 |