蓦然回首“那人”却在灯火阑珊处

莆田第十中学    许月珠

在日常的教学过程中，发现有很多的教辅都抄录了2009年普通高等学校招生全国统一考试理22这道题，这是一道以三次函数为背景，集二次函数根的分布、线性规划可行域、导数、不等式于一体的交汇性试题，直至今日依然是一道评价很高的试题。而我在欣赏之余却心存许多疑问，现将试题与解答呈现如下：

在两个极值点，且

（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；

(II)证明：

解：（I）

依题意知，方程有两个根，等价于

由此得b、c满足的约束条件为

满足这些条件的点的区域为图中阴影部分，

 (II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。

解：由题设知，故

于是

由于，而由（Ⅰ）知，故

又由（Ⅰ）知

所以

疑点之一： “由于，而由（Ⅰ）知，故”，其推理依据是什么？

思索之后得到结论：答案中省略了对函数单调性的判定.验证如下:

令,,,因为,所以,即函数在单调递减.故,也即,又因为,所以,,故得证.

疑点二:消真的很繁琐吗?结论是“不觉得”.其解法如下:

由题设知,得,于是.

令,,,故在单调递减.

故,即,也即.

又因为,所以,

可得,但无法证得这个结论.

疑点三:为什么消得不到答案?

以上推理过程完全类同于参考答案,我想若消得不到正确的答案,那消得到的答案应会有许多的疑点。纵观整个解题过程，的取值范围的求得经过了两次放缩。第一次放缩是不等式组求得的取值范围；第二次放缩是由的取值范围求的取值范围。在解题中二次放缩极易将范围放缩得过大或过小，其一般只在不等式证明过程中应用，极少用于求代数式的取值范围的。那如何避开二次放缩而又能求得的取值范围呢？本认为可用表示，以的取值范围求的取值范围，这一过程只有放缩一次。解法如下：

…① …②

①-②得,,…③

将③代入①得,

故

令,,

又因为,所以,故在单调递减.有

,,所以,

也即成立.

近代著名学者王国维先生曾将治学的三重境界“悬思---苦索---顿悟”巧妙地运用了三句诗句比喻， “昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”，此第一境也；“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”，此第二境也；“众里寻她千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”，此第三境也。在此本人抄录在此，与同为使学生脱离题海而把自已置身于题海的各位同仁共勉。

参考文献：2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷

数学组  许月珠《考试周刊》CN22-1381/G4