对一道高考题的思考

             ——函数“伪对称性”的探究

莆田十中 蔡娟兰

内容摘要：本文主要从一道高考题出发，探究一类函数类似于二次函数的对称性问题，本文把这种对称性称为函数的“伪对称性”。

关键词：函数  对称

一、              问题产生的背景

函数作为高中数学的一块重要知识，其思想可以说是贯穿整个高中。因为它的重要性，

所以不管是哪种类型的考试，命题者大都喜欢把它作为压轴题来呈现。其所考的知识点，常见的有：单调性，极值，最值，零点等，而本文从“对称性”的角度来进行探究的。

二、              问题探究的过程

（2010天津卷）已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，

（Ⅲ）如果，且，证明

答案解析：

（Ⅰ）解：

令,解得=1

当变化时，，的变化情况如下表

所以在()内是增函数，在()内是减函数。

函数在=1处取得极大值且=

（Ⅱ）证明：由题意可知,得 

令,即

于是

当>1时，2-2>0,从而’()>0,从而函数F（）在[1,+∞)是增函数。

又F(1)=F()>F(1)=0,即>.

（Ⅲ)证明：

（1）若，由（Ⅰ）及，得与矛盾

（2）若，由（Ⅰ）及，得与矛盾

根据（1）（2）得由（Ⅱ）可知，，又，所以,从而.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数在区间（-∞，1）内是增函数，所以>,即。

试题分析：显然本题第（Ⅲ)小题的证明是用到第（Ⅱ）小题的结论，而第（Ⅱ）小题的证明是利用对称性构造一个新的函数来进行的。那么如果没有第（Ⅱ）小题做铺垫的话，我们自己又如何构造新的函数？我们知道第（Ⅱ）小题的重点是对称轴，所以搞清楚是问题的关键所在。我们知道，如果一个函数其图像本身关于直线对称，且（），那么。而第（Ⅲ)小题只是把“=”改成“>”，因此，大胆的猜想也是类似于对称轴的功能，本文把直线称作函数的“伪对称轴”。其实，结合函数的图像可以发现，刚好是函数的极值点，而函数图像的变化是：当()时上升的趋势较快，也可以说此时图像较陡；而 ()时图像下降的速度较慢，也可以说此时图像较平稳，即左右两边不对称，所以才会出现的结果。搞清楚了问题的来龙去脉，现在还是回到刚才的问题：如果没有第（Ⅱ）小题做铺垫的话，我们可以结合函数的极值点，利用其“伪对称性”的性质来构造新的函数从而达到证明的目的（其中的便是函数的极值点）。再比如以下几道题：

1、（2013的湖南卷）已知函数=.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）证明：当 （）时，.

答案解析：

（Ⅰ）解：

当时，；当时，

故函数的单调增区间为 ；减区间为。

（Ⅱ），不妨设，则由（Ⅱ）得，

设 再设 ，  ，则

，即，故

在上单调递减，

因此对任意的，都有，即

又，对，都有，故

由（Ⅰ）得，函数在上是减函数，，即。

2、（2015福建省质检）已知函数

（Ⅰ）求函数的最小值；

（Ⅱ）判断的零点个数，说明理由；

（Ⅲ)若函数有两个零点，证明。

思路分析：本题与上题的解题思路是一样的，都需要构造函数，再利用第（Ⅱ）小题的结论进行证明。

3、已知函数

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若，使，求证：。

思路分析：本题也是与上题的解题思路是一样的，仍需要构造函数，再利用第（Ⅱ）小题的结论进行证明。

4、已知函数

（Ⅰ）求函数的最大值；

（Ⅱ）若存在，使得，证明：

思路分析：本题需要构造函数，再利用第（Ⅱ）小题的结论进行证明。

三、              探究得出的结论

对于有极值的函数，当时，证明与的和的大小问题，可以利用“对称性”构造新的函数，去证明新函数的值在指定的区间中恒正（负），最后利用单调性完成证明。

该论文于2016年在《中学课程辅导》第5期发表