难以割舍的“三角函数线”

-----一道三角函数练习题的教学反思

摘要：对一道典型三角函数练习题，应用任意角三角函数的定义及三角函数线进行认真分析，反思教学，化抽象为直观，化单纯的数式理解为数形结合理解，就能轻松达到从整体上把握三角函数的有关性质的教学目的。

关健词：三角函数  数形结合 直观 性质

对于学生来说，很多同学对如何学好三角函数普遍存在的内容抽象、不好理解的感觉，究其深层次的原因，是对任意角的三角函数的定义没有学好，本文试图从一道练习题，展示说明由三角函数的定义对如何理解好三角函数的性质的重要性，反思教学，达到从整体上把握三角函数的有关性质的教学目的。

练习题：定义在R上的函数，当时，；当时，给出以下结论：

（1）是周期函数；

（2）的最小值为-1

（3）当且仅当时，取最大值

（4）当且仅当时，为减函数

（5）的图象上相邻最低点的距离为。

其中正确命题的序号是                  （把你认为正确命题的序号都填上）

做这类的开放式的填空题，往往运用所学的知识点较多， SHAPE \* MERGEFORMAT 学生很难正确完成，错误率较高。但是，仔细思考，本题仍然离不开研究三角函数的最常规的方法，即研究三角函数的图象及其性质，但是如何研究呢？在教学中，我不断反思三角函数的定义及单位圆中三角函数线直观表现三角函数中自变量与函数值之间的关系，发现它可以化抽象为直观，化单纯的数式理解为数形结合理解，轻松就能达到从整体上把握三角函数的有关性质的教学目的。

下面我就以三角函数的定义及三角函数线来反思本题三角函数性质的教学，如图，在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，

始边与正半轴重合，终边与单

圆交于点P（或P′）,过点P（或P′）

作PM⊥X轴（⊥X轴），分别得到

正弦线，余弦线

本例是以或作为条件给出函数关系式，显然当时，即 所以，函数的解析式是当时，，当时，之间互换。当角的终边绕原点从开始，按照逆时针方向旋转到，此时，正弦线MP按照

的规律周而复始变化着；同时，当终边从开始，按照逆时针方向旋转到。此时 ，余弦线OM按照

的规律周而复始变化着。

由正弦线、余弦线的上述变化规律，可得到函数的以下性质

（1）周期性：自变量每增加（角的终边旋转一周），函数从正弦函数到余弦函数之间互换，并重复出现，所以函数的周期为。

（2）奇偶性：角与角对应的函数线可能是正弦线与余弦线，不可能关于轴对称或重合，所以函数为非奇非偶函数

（3）单调性：如下表：

（4）最大值、最小值：如下表：

总之，对于此类的三角函数题，我们若能紧紧抓住单位圆的三角函数线及定义，不断反思教学，就不难准确完成此类练习题，真正做到举一反三、触类旁通的教学效果。

（附：福建莆田第十中高级教师     顾志忠  联系电话：13860978052）