高中物理中的二次函数区间内极值问题-莆田第十中学

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高中物理中的二次函数区间内极值问题

【字体：[大][中][小] 】【发布时间：2017-10-26】【作者：/来源：】【阅读：次】【关闭窗口】

高中物理中的二次函数区间内极值问题

物理李志雄《数理天地》高中版2014年第5期刊号CN 11-3095/O1

二次函数区间内极（最）值问题是高中数学中的一个热点问题，但数学习题中这类问题多是纯数学运算的，应用题较少，倒是物理习题中不乏这类应用题。但因物理教师或教辅著者大都对中学数学不够熟悉，给出的解答往往用了不严谨或繁锁的计算方法[1]。下面通过三例点破其中精彩的数理结合。

例1、半径为的圆盘在竖直面上绕水平轴匀速旋转，边缘速度为，轮边缘有水滴从各位置甩出，求轮边缘抛出的水滴相对水平轴上升的最大高度及相应的抛出点位置。

A

B

θ

图1

分析：如图1，假设圆盘顺时针旋转，

，由匀速圆周运动的对称性易判断上升高度

最大时

必在0°至90°之间，可得

与

关系式：

= 1 \* GB3 ①

令，则上式变为：

= 2 \* GB3 ②

其中(在第一象限),问题转换为数学中典型的二次函数区间内极值问题。

下面采用数学中此类问题典型的解法，先把 = 2 \* GB3 ②式改写成配方式：

= 3 \* GB3 ③

图2

O

x

H

1

此二次函数图象开口向下，对称轴

，与区间

关系未定，要分类讨论区间内的极值：

1)若，如图2，图象顶点在区间内，函数最大值为顶点纵坐标，即，此时,；

图3

1

O

x

H

2)若

，如图3，图象顶点在区间右侧或区间右边界，二次函数在区间内单调递增，则当

时，函数取最大值，由 = 2 \* GB3 ②式易得

，此时

,

。

图4

例2、如图4所示，原长

为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的

端，另一端连接一小球。这一装置可从水平位置开始绕

点缓缓地转到竖直位置。设弹簧的形变总是在其弹性限度内。试在下述

、

两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕

点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度

。

在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值

为40厘米。

在转动过程中，发现小球离原水平的高度不断增大。(第12届全国中学生物理竞赛预赛)

分析：设弹簧弹性系数为,当直槽与水平方向夹角为时，弹簧收缩长度，小球受到弹簧支持力大小，由受力平衡可得（各物理量取国际标准单位）：

= 1 \* GB3 ①

弹簧长度： = 2 \* GB3 ②

小球高度： = 3 \* GB3 ③

由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③式可得与关系式：

= 4 \* GB3 ④

令,上式变为：

= 5 \* GB3 ⑤

其中(由题意可只讨论在第一象限内的情况)，又是一道典型的二次函数区间内极值问题，将 = 5 \* GB3 ⑤式化为配方式:

= 6 \* GB3 ⑥

下面讨论二次函数图象对称轴与区间关系：

图5

O

x

h

1

1)若

，如图5所示，函数图象顶点在区间

内,

有极大值，此即题设中(

)的情况，最大值

即为顶点纵坐标：

= 7 \* GB3 ⑦

当转到竖直位置时，，，代入 = 5 \* GB3 ⑤式得所求：

= 8 \* GB3 ⑧

将,分别代入 = 7 \* GB3 ⑦ = 8 \* GB3 ⑧，联立两式解得：

2）若，图象顶点在区间右侧或区间右边界(图略)，二次函数在区间内单调递增，此即题设中的情况，将代入此讨论条件，可得

= 9 \* GB3 ⑨

当转到竖直位置时， = 8 \* GB3 ⑧式仍成立，由 = 8 \* GB3 ⑧ = 9 \* GB3 ⑨可得

当然不能超过原长，所以题设只能判断的范围为：

V

P

E

r

图6

例3、如图6所示电路中，电源电动势

=6.3

,内电阻

，外电路中电阻

，

，滑动变阻器的全部电阻

。试求滑动头

由

端向

端滑动过程中电压表示数的变化范围。

分析：设AP之间的电阻值为,则BP之间的电阻为,滑动变阻器AP部分与串联后的电阻值为，BP部分与串联后的电阻值为，再算得并联后的外电路中的总电阻：

= 1 \* GB3 ①

加上内阻后的总电阻：

= 2 \* GB3 ②

电压数示数即为端电压，由全电路欧姆定律定律可得：

= 3 \* GB3 ③

由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③代入数值后，可得与关系：

= 4 \* GB3 ④

令 = 5 \* GB3 ⑤

= 4 \* GB3 ④式变为：

图7

O

x

y

5

= 6 \* GB3 ⑥

分析 = 6 \* GB3 ⑥式函数的单调性易知，当为正值时，越大，也越大。为此要先讨论 = 5 \* GB3 ⑤式中的范围，由于，问题转化为数学中的二次函数区间内极值问题，由 = 5 \* GB3 ⑤式函数图像(如图7)：

当时，取最小值，由 = 5 \* GB3 ⑤式得，显然在区间内为正值，将最小值代入 = 6 \* GB3 ⑥式求得

当时，取最大值，，再代入 = 6 \* GB3 ⑥式求得

参考文献

[1] 钟小平.高中物理竞赛解题方法（力学部分）[M]. 杭州：浙江大学出版社，2007:31-32

本文发表于《数理天地》高中版（CN 11-3095/O1）2014年第5期