一道考题引发的思考

    莆田十中  数学组  林振宇

    摘要：学生在做练习时，经常是求量而忽视质量。做错题，经常归结于马虎，而不会想到其实更多是对知识的模糊，不熟悉造成的。所以对教师来说，分析典型的考题错误，如何让学生深刻记忆并指导学生领悟错题的内涵，就显得尤为重要。

    关键词：命题  思维    知识点  

    有这样一道考题 “已知，求证：向量与向量不可能平行。”看似简单的一道考题，却在改卷中发现很多的问题，暴露了教师的教与学生的学之间的错位关系，也引发了一些思考。

一、学生缺乏逆向思维模式导致解题失败。

    显然本题考查了学生反证法的应用，如果想不到反正法，本题当然无从下手。应当来说反正法是逆向思维模式中的一种。所谓正难则反的原则，是逆向思维的常见模式。但是很多学生恰恰很难把这种思维形成习惯，或者说应急反射。这就需要教师在平时的教学中，有意思的渗透逆向思维模式。比如，在“简单逻辑用语”这一章教学中，互为逆否命题的两个命题真假相反，当一个命题的真假性难判断时，可利用它的逆否命题的真假来判断。再有原命题与非命题的真假关系，全集与补集之间的关系，都是逆向思维教学的很好题材，教师要把握好。当然，在平时的教学中，还可以通过否定题目的条件或结论，改变题意，然后让学生思考解题，也是灌输逆向思维的很好方式。

二、知识点选择不当导致计算失误。

    先看一位学生的解答过程:

    解：假设，则

  则

  
不存在实数使得命题成立。

    所以向量与向量不可能平行。

    以上的解题错误具有普遍性，也是学生常犯的错误。首先，若，则，这是学生常用的解题方法，而很少有学生去关注它应用的限制条件。于是我在讲解时向学生提出了这样的问题：“两个向量平行的定义是什么”。回答是：“若两个向量的方向相同或相反，则两向量平行”。再问下有没有补充的，就鸦雀无声了。说明学生对概念的理解很不到位，其实很多学生对许多数学概念的理解都是含糊的，导致对数学知识很难深化理解与系统化联系起来。我们“知道两个向量平行，应该包括两点：一是方向相同或相反的两个非零向量相互平行;二是规定零向量与任一向量平行”。如果学生明白了这两点，那么自然就不会把向量的共线定理理解错，也不会盲目利用。因为若，显然实数是不存在的，但也有，所以要说明下（或）。其次，由式子得到，显然是约去了，但是没有考虑是否为0的情况。这种错误情况在解方程当中是普遍存在的，说明学生的思维严密性不够。

    其实，本题也暴露了学生对知识点的选择不恰当问题。本题考查两个向量的平行问题，那么两个向量平行可以得到什么呢？一是向量的共线定理，二是向量平行的坐标运算。即若且，则。若学生应用了第二个知识点，那么就可以略去考虑或为零向量的问题。教师在讲题时，应该让学生明白这道题考查的是什么知识点，这些知识点中包括了哪些知识及解题技巧，然后进行筛选，选择比较快速恰当的解题方式。

三、学生对数学概念的缺失引发的教学反思

    教师在数学概念教学上，如何使学生准确掌握数学的概念知识，应当做到以下几点:

首先，让学生明白数学概念对于数学学习的重要性。因为数学知识的根源在于数学概念，数学概念是数学知识体系中的一个基本要素，只有掌握好数学概念，我们才能去建立数学知识体系。由数学概念设计的考题非常之多。比如：如图，“在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于

两点，已知的横坐标分别为

    （1）求的值（2）求的值。”

    “08年江苏的这道题显然就是先考查了三角函数的定义问题”。当然高考中以给出新定义的方式出题的题目也很多，这其实就是考查学生对定义的理解能力。比如: 设V是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量=（x₁，y₁），b=（x₂，y₂），以及任意∈R，均有

       则称映射具有性质P。现给出如下映射：

       ①

       ②

       ③

       其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）

    其次，要注重数学概念的拓展教学。数学概念的内涵与外延，教师要把握好，特别是对容易混淆或比较抽象的概念，应当加注释点，剖析清楚。再加以一定的例子说明，学生才能有比较深刻的理解。比如在讲解三角函数定义时，教本是利用单位圆来定义的，这样导致很多学生对定义的理解存在问题。于是，我在教学中利用旧教材的定义做了解释：若点为角终边上的任一点（不同于原点），且，则比值叫做角的正弦，即；比值叫做角的余弦，即；比值叫做角的正切，即。所以三角函数其实就是一个比值，学生也就很容易去变换思维，不再受单位圆的限制。对于定理或公式型概念，教师应当让学生学会推到与证明，而不能只注重结果，或有些教师直接就只给结果。

    再则，注重数学概念之间的区别于联系。很多数学概念之间是相互关联的，通过对照概念之间的异同点，可以让学生更容易记忆与理解。比如，函数与映射，等差数列与等比数列等数学概念的教学，通过对比参照，可以让学生自主学习，更有利于学生的理解。还可以训练学生的知识迁移能力，触类旁通。

    还有，注重对学生的数学概念学习的评价。教师教完还的关注学生的学习状况，就需要有效的评价方式。教师可以利用课前3到5分钟的时间，通过提问的方式，来了解学生的掌握情况，也可以通过小组互评的方式解决。对于学习主动性不强的学生，教师可以利用晚自习的时间，单个进行知识传授。以上三种形式可以有效解决评价问题。

    在高三的数学教学中，解题是一种有效的手段。通过大量的训练，找出学生知识的盲区，分析失误的原因，才能有效提高解题的方法与策。但是，教师一不能以题论题，那样只会陷入题海而不能自拔，而应当做到解一题而通一类题，学生才能举一反三，有效的归纳与总结，提高学习的效率。

    参考文献：

《数学学习与研究》2011年23期