合情推理的应用赏析

数学组 唐德福 

（发表在《学园》杂志2014年第16期 国内统一刊号CN53-1203/C）

合情推理，顾名思义就是合乎情理的推理，它包含类比推理和归纳推理两种推理方法，类比推理是从特殊到特殊的推理过程，而归纳推理是从特殊到一般的推理过程，合情推理是科学发现与科学研究的重要方法，但合情推理所得的结论的可靠性还有待于证明。下面通过例题来赏析这两种推理方法。

一、类比推理

例1. 与三角形重心有关的一些结论：

（1）三角形的三条中线（连接顶点和对边中点的三条直线）交于一点即三角形重心，

（2）三角形的重心坐标为，

（3）三角形的重心把中线分成2：1的两段，

（4）三角形的重心与顶点连线把三角形的面积三等分。

类比与四面体重心有关的一些结论：

（1）四面体的四条中线（连接顶点和底面重心的四条直线）交于一点即四面体的重心，

（2）四面体重心坐标为，

（3）四面体的重心把中线分成3：1的两段，

（4）四面体的重心与顶点连线把四面体的体积四等分。

例2.（1）是线段上的任意一点，则有.   类比可得：

（2）是内的任意一点，则有.

分析:（1） 是线段上的任意一点 ，

两边同乘得  .

（2）要证明 ，

设 

即证明，

两边同除以 ，

即证明，

即证明，

即证明 ，

即证明，

即证明，即证明（显然成立）.

以上各步步步可逆，所以成立.

二、归纳推理

例3.若数列满足，则的值为（   ）

A.         B.         C.          D.

分析：

猜想的最小正周期为，所以

，选

事实上，上述结论可用数学归纳法证明.

例4. 任意三个正数，两两取算术平均得到新的三个数，再把这三个数两两取算术平均，又得到三个数,如此继续下去，则第次得到的三个数是什么？

分析：设给定的三个正数分别为且，记为第次两两取算术平均后所得的三个数（其中且不考虑这三个数的顺序）.

通过计算分析，可猜想：第n次两两取算术平均所得到的三个数应为：

，，

（不考虑它们的顺序，显然）.

事实上，上述结论可用数学归纳法证明.