渗透数学模型思想，培养数学建模能力

――高中数学基于“数学建模”的实践研究

福建省莆田第十中学  吴翠娥  351146

摘要：数学建模是学生运用各种知识从实际问题中抽象、提炼出数学模式的过程，它对学生理解抽象的数学知识有着重要的意义。高中数学教师如何结合数学模型的特点，有效培养学生数学建模能力？本文从凸显主体地位，培养建模意识；巧妙设计问题模型，渗透数学模型方法；培养数学应用意识，掌握数学建模方法三个方面阐述。

关键字：数学模型；数学建模；课堂渗透；能力培养

数学模型是对实际问题本质属性进行抽象而又简洁刻画的数学符号、数学式子、程序或图形，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。而数学建模则是学生运用各种知识从实际问题中抽象、提炼出数学模式的过程，它对学生理解抽象的数学知识有着重要的意义。高中数学教师如何结合数学模型的特点，有效培养学生数学建模能力？

一、凸显主体地位，培养建模意识

高中数学建模活动旨在培养学生的探究能力和独立解决问题的能力，学生是建模的主体，学生在进行建模活动过程中表现出的主体性表现为自主完成建模任务和在建模活动中的互相协作性。高中生具有好奇、好问、好动、好胜、好玩的心理特点，思维开始从经验型走向理论型，出现了思维的独立性和批判性，表现为喜欢独立思考、寻根究底和质疑争辩。因此，教师在课堂上应该让学生充分进行自主体验，在数学建模的实践中运用这些数学知识，感受和体验数学的应用价值。教师可作适当的点拨指导，但要重视学生的参与过程和主体意识，不能越俎代庖，目的是提高学生进行探究性学习的能力和学生学习数学的兴趣。 
    由于数学建模就是把实际问题转换成数学问题，所以如果我们在数学教学中注重转化，用好这根有力的杠杆，对培养学生思维的灵活性、创造性及开发智力、培养能力、提高解题速度是十分有益的。学生对问题的研究过程，无疑会激发其学习数学的主动性，并能开拓学生的创造性思维能力，养成善于发现问题、独立思考的习惯。教材的每一章都由一个有关的实际问题引入，可直接告诉学生，学了本章的教学内容及方法后，这个实际问题就能用数学模型得到解决，这样，学生就会产生创新意识。 
    二、巧妙设计问题模型，渗透数学模型方法

    “提问是一门艺术”，它的作用就是为了引导学生和认知冲突，激发学生的求知欲望，通过问题的引导亦可让学生尝试探索新知识。在此，教师要善于设计蕴含数学模型思想方法的问题，以利于学生站在数学模型思想方法的高度掌握知识。在高一数学的教学中，涉及的某些概念的解释、定理的证明以及例题分析过程中都可以通过数学模型思想方法来帮助解决。

如在在 “集合”的学习之前，教师提问：“大家已经学习了正整数，如果说正整数和正奇数的个数一样多，相信吗？”对于这个问题，学生在学习集合之前一般很难回答，而教师的目的是为了激励学生对本章下面的知识产生兴趣。把正整数与正奇数的个数关系的问题与集合相联系，实际上是由一种已知的数学模型到另一种概念型数学模型的转变，提问中体现了数学模型思想方法的应用。同样在教师在给出集合的概念（一般地，某些指定对象集在一起就成为一个集合）之后，学生在字面上理解这个概念时一定会有模糊的感觉。某些，到底有没有个数上的限制？什么样的事物才能成为这里的对象呢？等等。教师可提问：粉笔盒内的物体能否作成一个集合？然后进行分析：粉笔盒里有10支粉笔时我们可以把这里10支粉笔称为一个集合，同样5支，3支，2支，1支，0支，或在盒子里多加个黑板擦时都可以称为一个集合。通过这样形象的模型展示，学生就很快地理解概念里的对象可以是我们生活中常见的不同物体，某些可以是一个，两个，甚至为零。

 三、培养数学应用意识，掌握数学建模方法

高中数学建模的目的旨在培养学生的数学应用意识，掌握数学建模的方法，为将来的学习、工作打下坚实的基础。在教学时将数学建模中最基本的过程教给学生：利用现行的数学教材，向学生介绍一些常用的、典型的数学模型。如函数模型、不等式模型、数列模型、几何模型、三角模型、方程模型等。教师应研究在各个教学章节中可引入哪些数学基本模型问题，如储蓄问题、信用贷款问题可结合在数列教学中。教师可以通过教材中一些不大复杂的应用问题，带着学生一起来完成数学化的过程，给学生一些数学应用和数学建模的初步体验。 
  在学习了二次函数的最值问题后，通过下面的应用题让学生懂得如何用数学建模的方法来解决实际问题。例：客房的定价问题。一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到了一些数据：每间客房定价为160元时，住房率为55％，每间客房定价为140元时，住房率为65％， 
  每间客房定价为120元时，住房率为75％，每间客房定价为100元时，住房率为85％。欲使旅馆每天收入最高，每间客房应如何定价 
  [简化假词] 
  (1)每间客房最高定价为160元； 
  (2)设随着房价的下降，住房率呈线性增长； 
  (3)设旅馆每间客房定价相等。 
  [建立模型] 
  设y表示旅馆一天的总收入，与160元相比每间客房降低的房价为x元。由假设(2)可得，每降价1元，住房率就增加。因此问题转化为：当时，y的最大值是多少? 
  利用二次函数求最值可得到当x=25即住房定价为135元时，y取最大值13668.75(元)， 
  [讨论与验证] 
  (1)容易验证此收入在各种已知定价对应的收入中是最大的。如果为了便于管理，定价为140元也是可以的，因为此时它与最高收入只差18.75元。 
  (2)如果定价为180元，住房率应为45％，相应的收入只有12150元，因此假设(1)是合理的。 
    可以说，只有将数学建模与生活应用联系起来，学生才会对建模产生兴趣，并更好地参与探究，获得解决问题能力的发展。

总之，数学知识具有较强的系统性，而数学模型思想方法也具有较强的系统性。高中数学比较抽象，想让学生更好地学习数学，教师可以巧妙引入数学模型，并挖掘教材中蕴含的数学模型素材，有效搭建探究平台，使学生对数学建模有比较的系统认知，从而借数学建模更好地理解抽象的知识，获得思维能力的发展。

该论文于2016年在《读写算》第2期发表