绳子拉船问题的教学启示新探

李志雄¹   林庆新²  

（1. 莆田第十中学，福建 莆田 351146；2. 莆田市教师进修学院，福建 莆田 351100）

摘  要：对绳子拉船问题从多个角度提出新的分析和引申，同时挖掘其与高中物理教学内容相关的价值和启示，涉及瞬时速度教学、光的双缝干涉条纹间距的推导、速度关联问题等教学难点的突破，包括对一道高考试题的分析和解答。

关键词：极限思想；光程差；导数；速度关联

绳子拉船问题是速度分解与合成中的一个“陷阱”问题和教学难点， 相关文献已较多，再提似乎有些老套了，但笔者认为以往许多分析还不够透彻或尚需补充，下面将对绳子拉船问题从多个角度提出新的分析，同时挖掘其与高中物理教学内容相关的价值和启示，以达到从错误中学习，提升学生物理核心素养和解决问题能力的目的。

一、问题

如图1，一人通过岸边的定滑轮用绳子拉船，使船靠岸，假定绳子不可伸长且始终绷紧,某时刻人拉绳的速度为，绳与水平面夹角，求此时船速.

此即所谓“绳子拉船”问题，在应用速度的合成和分解方法解答时，初学者容易犯的一个错误是把当作合速度，把看作的分速度，得到，而对为什么应把当作合速度，看作的分速度，正确答案是感到难以理解，对以后遇到类似问题时如何确保分析正确没有把握.

从运动合成与分解角度分析此问题的文献已较多，下面将从新的角度进行分析和引申.

二、绳子拉船问题与瞬时速度教学

瞬时速度教学中包含数学的极限思想，下面试从极限思想和瞬时速度的概念来分析拉船问题.

如图2，假设岸高，绳与水平面夹角，开始时船位于处，定滑轮与船间的绳长，船距岸边距离，经过极小的一段时间后，船前进到处，绳长缩短，船前进了，则有：

                             ①

         ②

①-②可得：

两边同除以:

当→0时，→0, →0，有：

即,由此得：

这样分析十分自然，且由此加深了学生对数学中极限思想和瞬时速度的理解，因此，笔者认为可将拉船问题作为瞬时速度教学中的拓展问题，以让学生体会到深刻理解物理概念的重要性.

三、绳子拉船问题与光的双缝干涉条纹间距的推导

绳子拉船问题的结论还可引申到光的双缝干涉实验中相邻两条亮条纹间距的推导.

如图3，光的双缝干涉实验中双缝和的距离为，挡板与屏间距离，实验中单色光的波长为，显然，挡板中间将出现亮条纹，假设是与相邻的条纹出现位置，与间距，与和的光程差应是。

现在想象有一条紧绷的不可伸缩的“绳子”穿过连结，将一只“船”沿两狭缝连线从拉到，根据绳子拉船问题的结论，两边同乘以时间的微小量，则可得“船”的微小位移与“绳子”收缩的微小量间的关系，

由于光的双缝干涉实验中，双缝间距、都是微小量，可以作以下对应：

→双缝间距

→光程差

即有：

对于，取与和中点的连线与挡板夹角是合理的选择，注意到与互补且很小，有

代入上式得：

四、绳子拉船问题与速度关联问题的突破

绳子拉船问题警示我们应用速度的合成与分解分析速度关联问题时有陷阱易出错.笔者认为在目前高中数学中学生已学过导数的情况下，不妨采用导数的方法来突破相关问题.

1.用导数分析拉船问题.

如图2，拉船过程中任一时刻，岸高、定滑轮与船间的绳长和船距岸边距离有如下关系

      ①

显然和都是时间的函数，两边对时间求导，注意到复合函数导数间关系，有：

    ②

由②式得:

    ③

由导数含义知，即为船速，即为拉绳速度，即：

     ④

显然，采用导数可以使绳子拉船问题得到最彻底的解决.这提示我们当遇到与此类似的运动关联问题，动用导数是较有把握的办法.

2.用导数突破运动关联问题中的速度关系

例1:如图4，一人通过动滑轮斜向上拉一水平地面上的物体，假定绳子不可伸长且始终绷紧,某时刻人拉绳的速度大小为，绳与水平面夹角θ，求此时物体运动速度大小.

分析与解答：如图5，不妨将绳子未端加长至曲面上方，且设与曲面相交于点，点距地面高度为,动滑轮距曲面为, 曲面左边的绳子总长度,则有：

将看成关于的函数，对求导:

而实际上，和都是关于的函数，根据复合函数导数公式有：

根据导数含义知，是绳子长度变化速度的大小，即是拉绳速度，即是物体运动速度大小,故答案为：

例2: (2016年江苏高考第14题)如图6所示，倾角为的斜面被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块相连，静止在斜面上，滑轮左倾的细线水平，右侧的细线与斜面平行，、的质量均为，撤去固定的装置后，、均做直线运动，不计一切摩擦，重力加速度为，求：

（1）滑动的位移为时，的位移大小；

（2）滑动的位移为时速度大小

分析与解答：(1)相对地的运动是相对的运动与相对地运动的合成，如图7，由几何关系可得：

     ①

   (2)由上式对时间求导：

   ②

即物块的速度，即斜面的速度，故有：   ③

   由机械能守恒有：

   ④

联立③④式，注意到，解得：

    ⑤

五、总结

应当把绳子拉船问题提炼为高中物理教学的一个重要模型，此模型中蕴含着丰富而深遂的物理和数学学科素养，关联多个教学难点的突破，是培养学生核心素养不可多得的好素材。

(资助项目：本文为莆田市教育科学“十三五”规划2018年度立项课题《核心素养导向下中学物理高效课堂的研究》（PTJYKT18126）研究成果)

参考文献：

1  倪红飞. 细细品味，别有洞天. 物理教师，2016，37（9）：84-85.

该论文2019年4月发表于《湖南中学物理》（CN43-1041/O3）