巧解第35届预赛中的抛体问题

李志雄

（莆田第十中学，福建 莆田  351146）

摘  要：应用高中数学中的柯西不等式等方法和技巧，对第35届全国中学生物理竞赛预赛中的一道抛体问题给出二种简捷的解法，从中能使人体验到数理结合的科学美。

关键词：铅球；极值；柯西不等式；正弦公式

1 第34届全国中学生物理竞赛预赛中抛体问题

 第35届预赛第6题：田径场上某同学将一铅球以初速度抛出，该铅球抛出点的高度为。铅球在田径场上的落点与铅球抛出点的最大水平距离为___________，对应的抛射角为_______。重力加速度为。

2 解法探讨

这是一个与生活实际直接相关的经典问题，在许多物理竞赛类的教辅书中都有此问题的解答，一般是以时间为参数，从运动方程出发来计算，这种解法思路自然，但计算复杂。下面利用中学数学技巧给出二种简捷的解法，从中能使人体验到数理结合的科学美。

2.1  利用柯西不等式

(1)柯西不等式简介

柯西不等式是目前高中数学选修4-5中的内容，但不如均值不等式一样为物理教师所熟悉，下面先从平面向量的背景介绍二维形式的柯西不等式。

如图1，设在平面直角坐标系中有向量，，与之间的夹角，根据向量数量积的定义有：

（1）

因，所以有：

（2）

用平面向量坐标表示（2）式，得：

(3)

这就是柯西不等式，如果向量，是非零向量，只有在时，上式取等号，即取极值时向量与共线，此两向量共线的条件是：(如果坐标值都为正数，则有)。

(2)分析与解答

注意到铅球以任何角度抛出，落地时的末速度大小是确定的，如图2-a和图2-b，设初速度和末初速度在水平、竖直方向上分速度大小分别为、和、，则铅球在空中运动时间：

(1)

落点与铅球抛出点水平距离：

   (2)

由(1)(2)式得

   (3)

注意到，将(3)式变形，利用柯西不等式有

即落点与铅球抛出点的最大水平距离

根据柯西不等式取极值时的条件，抛得最远时有

则图4-a和图4-b中二个速度矢量三角形相似，设此时抛射角为，有：

2.2  利用矢量三角形

 如图3所示，初速度、落地时末速度、速度改变量构成矢量三角形，设抛射角为，末速度方向与水平线夹角为,注意到大小为,矢量三角形面积为:

(1)

落点与铅球抛出点水平距离：

(2)

由(1)(2)可得

(3)

由(3)式知，只要使三角形的面积最大，水平射程就能达到最远，而此矢量三角形的面积也可用正弦公式表示：

      (4)

因、大小都是确定的，由(4)式知，要使面积最大，应使，即，此时，由(3)(4)式有：

得：

因是直角三角形，有：

该论文2019年3月发表于《物理教师》（核心CN32-1216/O4）