高中数学直觉思维培养的案例分析

莆田第十中学 黄启贤

摘要：直觉是不经过逻辑的、有意识的推理而识别或了解事物的能力^[1]．直觉思维是具有简约性、创造性、自信力的一种心理现象，它在创造性思维活动的关键阶段起着极为重要的作用．“直觉思维”是建立已有认知与经验基础上，跳过中间的逻辑思考环节，对问题的结果快速作出有效的预判．培养高中数学的直觉思维主要有四个方面：重视系统教学，构建知识网络；有效的思维导图训练；创设直觉思维的意境和动机诱导；渗透数学的哲学观及审美观．直觉思维培养的案例分析，为课堂的实践研究提供了可借鉴的方法．

关键词：直觉思维高中数学 案例分析

1 引言

直觉思维在艺术创作、科学研究、哲学等领域都起着重要或决定性的作用．数学作为一门思维的学科，对直觉思维的需求不言而喻．数学的直觉思维是从数学问题、数学现象等表征出发，通过观察、分析、思考，结合现有知识与经验，跳过其中的逻辑推理环节，快速地给出解决问题的最优方案．它是一种带有跳跃性的思考方式．直觉思维决定着数学思维能力的高低．徐利治教授指出：数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的^[2]．

2 数学直觉思维的培养

2.1重视系统教学，构建知识网络．

没有系统全面的学科知识作为前提，是不可能迸发出直觉思维的火花．数学知识是具有系统性的，条理清晰、逻辑严谨的系统知识结构是产生直觉思维的前提，而处理问题的经验累积是产生正确直觉的基本保证．在教学过程中要从学生的最近发展区出发，从系统的角度构建知识网络，要着解决知识网络中“结点”的重、难点．通过知识网络的构建，让学生明确知识的横纵联系，化“被动学习”为“主动探究”，让数学知识在学生的头脑中成为直观的、有机的整体结构．

不论知识网络的搭建还是课堂的教学，都应站在系统角度，大至数学分支，小至一节课的内容，都要理清整体与局部的关系．让学生在系统的视角下看问题，成为规律和结论的发现者，激发学生在未知领域的探究能力，以此达到直觉思维与逻辑思维的有机结合．

案例1 “图象及其变换”这一部分内容的教学设计如下．

（1）回顾学习过的函数并分类．设计意图：关注新旧知识的衔接，加强知识的纵向联系，为知识的扩展延续作为铺垫．

（2）回顾函数图象的作法，以及不同作法的应用场景．设计意图：通过知识的回顾整理，让知识更具条理化，构建知识网络，

（3）探究图象变换的方式有哪些．设计意图：层层推进，将知识网络逐步织起来．

（3）探究各个类型函数在不同的变换作用下得到的图象．设计意图：从特殊到一般，创造机会让学生直观感知不同变换的本质．

（4）从抽象函数的角度探究图象变换的共性．设计意图：从定量到定性，着力解决知识网络中“结点”的重、难点，为“织一张更大的网”留下伏笔．

（5）应用提升．设计意图：处理问题的经验累积是产生正确直觉的基本保证．

学生的学习过程是在最近发展区展开的，被自己的直觉所驱动，从分类到变换，从变换到结论，从定量到定性，再到应用提升．每一个环节，在系统的视角下，立足于直觉思维的驱动，从而得到能有效地促进形成直觉思维的知识体系．

2.2 有效的思维导图训练．

有效的思维导图训练，让直觉思维有了源头，思维逻辑更具有脉络化，有理有据，直觉思维与逻辑思维的有机结合，能有效地进行逻辑判断并选取最优解决策略．思维导图能将逻辑思维及发散性思维用图形语言表达，它是简单高效的思维工具．思维导图的优越特性，不仅是发散思维的形象化，同时也具有拓展性、可编辑性、再创造性．把思维导图引入到数学的教学课堂，它所具备的优越特性可有效地培养学生的直觉思维，让直觉思维的培养更具直观性与可操作性．

案例2 解三角形问题的思维导图的初步整理．

（1）用到的工具：正弦定理、余弦定理、面积公式．

（2）正弦定理的用途：边角互化；将未知作为要素，“两边+两角”的用正弦定理；边化角，用角的范围求目标函数范围．

（3）余弦定理的用途：边角互化；将未知作为要素，“三边+一角”的用余弦定理；角化边，用均值不等式求目标函数最值．

（4）三角形分割成两部分：对两互补角同时使用余弦定理．

（5）求范围类型：ab、a+b、S、a²+b²、周长．

（6）sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC．

2.3 创设直觉思维的意境和动机诱导．

数学课堂要践行课改理念，转变教学观念，让学生参与课堂．教师应鼓励学生的发散性思维，及时地肯定学生的设想，因势利导，解除学生心中的困惑，让学生充分享受直觉思维所带来的获得感．例如可根据课堂的类型进行合理的教学设计，培养学生的知识迁移能力和归类猜想能力，促进直觉思维的养成．

在相邻或相近的知识点处，学生乐于用己掌握的知识作为工具去探究新的知识，这就是知识迁移的能力．迁移在数学的学习中起着重要的作用，知识的迁移一般在新知识的学习与解题探究上较为常见．在知识的迁移过程中，锻炼了数学的直觉思维，优化了知识结构与方法体系．如在学习《等比数列》这一章节的过程中，可通过等比数列与等差数列的类比，类比等差数列的结论与性质，如等差数列的通项公式及变形、等差中项及应用、等差数列的单调性、前n项的和等，进而学习等比数列的相关内容．

归纳猜想是直觉思维的一种重要形式．数学问题研究经常采用“先猜后证”的策略．数学的猜想是以扎实的基础知识为根本，以宝贵的经验累积为依据．一个数学问题出现时，可鼓励学生从多角度探究并猜测问题的结论，这样有助于直觉思维的培养．

案例3 在正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且平面，求与平面所成角的正切值t构成的集合．

本题需猜测与验证同步进行，需要学生直觉思维的参与．考查的是线面所成角的正切值的范围，即为斜线与射影所成角的范围．由此引发探究斜足的轨迹是什么．接下来通过面面平行可得线面平行这一性质定理，来探索斜线即斜足的轨迹．而面面平行可通过两交线分别与另一平面平行得证．最终可得斜足的轨迹即为BB₁与B₁C₁中点的连线．

本题的解题过程分析较为繁杂，考查内容所涉及的面比较广，通过执果索因的方式逐级逆推，要求学生有较强的逻辑思维与直觉思维，总体难度中．培养数学直觉思维就是创设教学情境，引导学生以已有的知识作为依据，去大胆地猜测联想．

2.4 渗透数学的哲学观及审美观．

直觉思维是在对研究对象的整体认知的基础上产生的，而哲学观点有助于对事物本质性的探索与思考指引了方向．数学中的哲学观包括数学的对立统一、运动变化、化归转化、特殊与一般等．例如立体几何中的空间对称问题，垂径定理在解决与球有关的问题，圆锥曲线的统一性质，函数、方程、不等式之间的化归与转化、从函数的角度看待数列问题等，这些都通过“哲学观”这条暗线关联在一起，构成了数学这一整体．学生依托数学的哲学观，借助于直觉思维，把知识由“点”拓展延伸到“线”到“面”．

数学美是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识．理解数学的美有利于数学直觉思维的形成。狄拉克于1931年从数学对称的角度考虑，大胆的提出了反物质的假说．数学很多发现都是在感受数学美的基础上发现的，在教学中，要从领略、呈现数学美的角度出发，从数学定理、公式、数学逻辑、数学思想方法中感受数学的对称美、简洁美、统一美、奇异美、重要美、比例美等．如在正余弦定理探究过程，可从对称美、统一美的角度引发学生思考、探索．另外，一些数学问题的研究，可以通过对问题的特殊情形的研究，逐渐加深对其了解，发现特点，探寻规律，形成一般结论．这就是数学的美所带来认知上的促进．

3 结语

直觉思维是数学素养的重要组成．通过培养直觉思维可形成更敏锐的观察力、想象力及逻辑思考能力，学生要养成站在系统的角度思考问题，制定解决策略．数学课堂要渗透数学的哲学观与审美观，从系统的角度分析问题、思考问题，整体上把握章节知识，为学生创设直觉思维的意境与动机诱导，充分调动学生的参与热情，化“被动接受”为“主动探究”，学生在未知领域的探究过程中充分享受到直觉思维所带来的成功，才会意识到直觉思维的价值．

参考文献:

[1]赵思林,朱德全.试论数学直觉思维的培养策略[J].数学教育学报,2010,(1)．

[2]徐利治著.徐利治谈数学哲学[M].大连理工大学出版社,2008.01．