浅议化归思想在高中数学解题过程中的应用

福建省莆田十中   蔡娟兰

摘要：化归思想是一种解决问题的重要思想，在高中数学解题中的优势更为显著，能引导学生解决各类数学问题，提升数学解题能力。高中数学教学中，应做好化归思想知识的讲解，为学生灌输化归思想的常用方法，尤其结合具体例题讲解各种化归方法的具体应用，能使学生感受化归方法的具体应用过程，掌握应用规律，总结应用技巧，不断提高化归思想应用水平，促进高中数学解题能力的进一步提升。

关键词：高中数学  化归思想   解题   过程   应用

所谓化归思想指将陌生、不易处理的问题，采用相关转化方法，转化为熟悉、易处理的问题，因此，采用合理方法进行转化是化归思想的精髓，亦是化归思想教学的重中之重。高中数学涉及的内容较多，题型复杂多变，掌握化归思想可使学生迅速找到解题突破口，实现快速、高效解题，因此，教学中数学基础知识和化归思想均应纳入教学的重要内容，积极实践。

一、化归思想之换元法的应用

换元法是化归思想中的一种常见方法，学生在初中阶段已有所了解，因此，对换元法并不陌生。不同的是，高中阶段的换元法更为灵活，而且解题步骤更为复杂，因此，教学中，一方面，为学生深入讲解换元法，使学生牢固掌握换元法的技巧与方法，使学生认识到换元并不是随便的，换元后应能简化原有式子，更加容易找到解题思路。同时，还应注意换元前后变量取值范围的一致性。另一方面，结合具体教学内容，围绕具体例题，为学生讲解换元法的具体应用，使学生深刻体会换元过程，认识到换元法在解题中妙用，启发学生更好的解题。

例1，已知函数f（x）=xlnx-x²-x+a（aR）在其定义域内有两个不同的极值点。设两个极值点分别为x₁、x₂且满足x₁＜x₂，已知＞0，若不等式＜x₁恒成立，求的取值范围。

分析：该题目立足函数，考查了极值点、导数、恒成立等知识点，难度较大。解题的关键在于理解题意，而后对已知条件进行转化，根据转化后的结果采用换元法解题。

∵＜x₁恒成立，两边均取对数可得1+＜lnx₁₊lnx₂

又∵f（x）=xlnx-x²-x+a（aR）在其定义域内有两个不同的极值点，即，x₁、x₂分别为（x）=lnx-ax=0的两个根，则lnx₁=ax₁，lnx₂=ax₂。

则1+＜ax₁+ax₂

∵＞0且0＜x₁＜x₂，则上式等价为：a＞

另外，将lnx₁=ax₁，lnx₂=ax₂作差得到ln=a（x₁-x₂），则a=

则原式等价为：＞，∵0＜x₁＜x₂，则ln＜恒成立

令t=，t（0，1），则不等式lnt＜在t（0，1）上恒成立。

令h（t）=lnt-，求导得：（x）=

当²≥1时，在t（0，1）上（x）＞0，即，其在定义域上为单调递增函数，又∵h（1）=0，则h（t）＜0在定义域上恒成立，满足意义。

当²＜1时，可知在t（0，²）上（x）＞0，在t（²，1）时（x）＜0，即，在t（0，²）上h（x）单调递增，在t（²，1）时h（x）单调递减，又∵h（1）=0，则h（t）在t（0，1）上不恒小于零，不符合题意，舍去。

综上可知，若不等式＜x₁恒成立，只需²≥1，而＞0，即，≥1。

二、化归思想之构造法的应用

构造法指根据题干条件或进行推导，将数学问题转化为一个适当的数学模型，进而实现求解的目的。构造法对学生的数学能力要求较高，教学中为使学生掌握这一重要的转化方法，一方面，结合教学内容为学生讲解常见的构造方法，包括构造函数、构造数列、构造向量等。同时，为树立学生学习的自信，可先创设简单的问题，传授各种构造技巧，使学生夯实基础知识，提高运用构造法转化为数学问题的意识。另一方面，优选经典例题，板书具体解题过程，鼓励学生积极思考每一步的推导过程，以及推导过程中应注意的问题，切实掌握构造法精髓，在解题中加以灵活应用。

例2，已知a，b，cR⁺，abc=1，证明：a²+b²+c²+3≥2ab+2ac+2bc

分析：该题目为证明不等式类型的题目，题干较为简单，显然采用所学的证明不等式知识，运用常规思路，很多学生不知如何下手，因此，教学中，应给予学生引导，引导学生通过转化，构造出二次函数进行证明。

要证a²+b²+c²+3≥2ab+2ac+2bc，即证：（a+b）²+c²+3≥4ab+2c（a+b）

∵abc=1，即，原不等式转化为（a+b）²-2c（a+b）+c²+3-≥0

当3-≥0，即，c≥时，显然不等式成立。

当3-＜0，即，c＜时，设x=a+b，由已知条件以及基本不等式知识可得a+b≥2=，即x=a+b[，+∞)，对不等式（a+b）²-2c（a+b）+c²+3-≥0

认真观察不等式的形式，可通过二次函数f（x）=x²-2cx+c²+3-进行证明。

要证明0＜c＜，不等式（a+b）²-2c（a+b）+c²+3-≥0成立。只要证明当x[，+∞)时，有f（x）≥0即可。∵0＜c＜，则c＜

∴f（x）的对称轴x=c在[，+∞)的左侧，且f（x）的图像开口向上，即，在[，+∞)上f（x）单调递增。

又∵f（）=-4+c²+3-=c²-4+3≥2c-4+2=2（-1）²≥0

∴当x[，+∞)时恒有f（x）≥0，即当0＜c＜时，有（a+b）²-2c（a+b）+c²+3-≥0成立，从而得证。

三、化归思想之坐标法的应用

坐标法是一种基于坐标系将几何问题转化为代数问题，通过数学计算，实现解题的一种化归思想。应用坐标法解答数学问题时应注重构建合理的坐标系，准确找到各点的坐标，而后运用所学进行计算。为使学生灵活运用坐标法这一重要的化归思想，一方面，教学中为学生讲解坐标法知识，注重培养学生的空间想象能力，如通过联系生活中的事物，增强学生的空间立体感，从而能够在空间直角坐标系中准确找到各点坐标。另一方面，为使学生掌握坐标法，教学中注重多对学生进行训练，即，选择优秀试题，对学生进行专题训练，不断提高学生的坐标法应用水平与运算能力。

例3，如图1，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形且边长为2，∠ABC=60°，△PAB为正三角形。且侧面PAB和底面ABCD垂直，E为AB的中点，M处在线段PD上。是否存在点M，使得二面角M-EC-D的大小为60°，若存在求出PM/PD的值，若不存在，请说明理由。       图1

分析：该题目为立体几何题目，采用传统方法虽然能够得出结果，但难度较大，采用坐标法，通过假设M点的坐标，找到其与PD间的关系，便可得出是否存在点M。根据题意构建空间直角坐标系时，应以E为原点，以EB、EC、EP分别为x，y，z轴，构建空间直角坐标系E-xyz，根据题意，不难得出以下各点的坐标。

E（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，），C（0，，0），D（-2，，0）

假设PD上存在一点M（x，y，z），=（0≤≤1）

则（x，y，z-）=（-2，，-），即，M（-2，，（1-））

=（-2，，（1-）），=（0，，0）

则n=（x，y，z）为平面CEM的法向量，则

n·=-2x+y+（1-）z=0，n·=y=0，解得y=0，2x=（1-）z

令z=2，则x=（1-），得n=（（1-），0，2）

∵PE⊥平面ABCD，所以平面ABCD的法向量m=（0，0，1）

cos<n，m>==2/=2/

∵二面角M-EC-D的大小为60°

则2/=1/2，即，3²+2-1=0，解得=或=-1（舍去）

因此在PD上存在点M，当PM/PD=时，二面角M-EC-D的大小为60°。

四、化归思想之直接转化法的应用

直接转化法指数学问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形，进而实现求解的一种方法。直接转化法相对来说较为简单，教学中为使学生掌握这一重要方法，一方面，直接转化法基于数学基础知识，因此，教学中做好数学基础知识讲解尤为重要。灵活运用多种方法，如运用多媒体技术为学生深入讲解数学概念，尤其引导学生自己推导相关的数学定理，感受数学定理的推导过程，加深学生印象的同时，使学生更好的指导数学结论的来龙去脉，有助于其更好的应用。另一方面，与其他转化方法相比直接转化法虽然难度不大，但要想牢固掌握并非易事，教学中仍需依托具体例题讲解，为学生的应用提供示范，使学生更好的掌握应用直接转化法应注意的问题及相关的应用技巧。

例4，已知函数f（x）=x³+（-）x²+（-a）x（0＜a＜1，xR），若对于任意的三个实数x₁，x₂，x₃[1，2]都有f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，求实数a的取值范围。

分析：该题目为三次函数类型的试题，解题时需要应用导数知识进行求解。同时，根据f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立进行巧妙转化，通过分类讨论找到最大值与最小值之间的关系，最终求解出a的取值范围。

∵f（x）=x³+（-）x²+（-a）x（0＜a＜1，xR）

∴（x）=x²+（a-）x+（-a）=（x-）（x+a-2），令（x）=0解得

x₁=，x₂=2-a

∵0＜a＜1，可知1＜2-a＜2，则令（x）＞0得到x＜或x＞2-a，令（x）＜0，得＜x＜2-a，即，函数f（x）在（1，2-a）上单调递减，在（2-a，2）单调递增。

即，f（x）在[1，2]上的最小值为f（2-a）=（2-a）²，最大值为max{f（1），f（2）}=max{-，a}

∵0＜a≤时，-≥a，当＜a＜1时，a＞-

∵对于任意的三个实数x₁，x₂，x₃[1，2]都有f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，则2f（x）_min＞f（x）_max（x[1，2]）

因此，当0＜a≤时，有2×（2-a）²＞-，解得1-＜a≤；当＜a＜1时，有2×（2-a）²＞a，解得＜a＜2-。

综上可知，a的取值范围为1-＜a＜2-。

五、化归思想之数形结合法的应用

数与形有着密切的联系，通过数可更加透彻、细致的研究形，而借助形可直观的展现数之间的关系。数形结合是化归思想中应用率较高的方法，可明显提高解题效率，教学中，为使学生熟练应用数形结合法进行巧妙解题，一方面，引导学生有意识的积累数形结合知识，帮助其树立数形结合解题的意识，如要求学生回归教材掌握教材中常见函数的图像，总结函数图像绘制技巧等，为数形结合法的灵活应用奠定基础。另一方面，数形结合法试题类型多种多样，教学中应为学生讲解代表性例题，使学生掌握数形结合法解题的思路，灵活处理常规以及抽象函数图像，做到顺利解题。

例5，已知函数f（x）=，关于x的方程f²（x）-2af（x）+a-1=0（aR）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）

A、（，+∞）    B、（-∞，）     C、（0，）     D、{}

分析：该题目时抽象函数与复合函数相综合的题目，较为抽象，难度较大。很多学生面对该题目不知入手下手，很难得出正确结果。事实上，针对抽象复杂的函数，可运用导数知识研究其单调性，大致画出其图像，借助图像讨论其根的情况，从而得出参数的取值范围。

∵f（x）=，x的正负未知，因此，需要进行分类讨论。

当x＞0时，f（x）=，（x）==。当0＜x＜1时，（x）＜0；当x＞1时（x）＞0，               图2

则当x=1时，函数取得极小值f（1）=e。

当x＜0时，f（x）=-，则（x）=-=-，（x）＞0恒成立，此时函数为增函数。为求a的取值范围可大致作出f（x）的图像，如图2所示：

设t=f（x），则t＞e时，t=f（x）有3个根；当t=e时，t=f（x）有两个根，当0＜t＜e时，t=f（x）有1个根。当t≤0时，t=f（x）有0个根。

则关于x的方程f²（x）-2af（x）+a-1=0（aR）有3个不同的实数根，等价于t2-2at+a-1=0（mR）有2个不同的实数根，当t=e时，e²-2ae+a-1=0，解得a=，正确答案为D。

总之，高中数学蕴含很多思想，可给学生的解题带来良好指引，使学生少走弯路，提高解题效率，在各类测试中取得理想成绩，其中化归思想在解答高中数学试题中占据重要地位。为使学生切实掌握这一重要思想，教学中应注重化归思想的应用研究。本文通过研究得出以下结论：

1.高中数学教学中，不仅要为学生讲解高中数学基础知识，使学生掌握基本知识以及解题的基本能力，而且为学生系统讲解化归方法以及化归时应遵守的原则，把握化归思想应用重点。

2.为学生讲解化归的具体实现方法，尤其为使学生熟练掌握各种化归方法，应结合例题讲解，使学生感受相关化归方法的具体应用。同时，鼓励学生充分利用课下时间进行及时巩固训练，在训练中掌握不同数学试题的解题规律以及化归技巧，进一步提高学生的数学解题能力。

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